Найдите ошибку в доказательстве.

[Alexiy]

Если вы так ловко преобразовали 1/9 в 0.1111(1), то почему бы не быть последовательным и не преобразовать 0.9999(9) в 1?
MS Excell делает это. Он что, умнее вас?

[Гарри]

Так, а сколько будет если 1-0,9999(9)=???
получается ответ стремиться к 0, но это не 0, а стремиться к нему, а в цифрах это сколько?

[gormihale]

Два числа равны, если их разность равняется нулю. Таким образом, нужно найти значение выражения 1-0,(9). Сперва рассмотрим более простой пример. Найдем разность 1 и 0,9 (первая итерация), затем добавив к вычитаемому в следующий за последним разрядом цифру 9 (получится число 0,99), найдем разность 1 и нового вычитаемого 0,99 (вторая итерация). После чего по той же схеме определим разность 1 и 0,999 (третья итерация) и т.д.
Итак, при повышении номера итерации, значение вычитаемого стремится к 0,(9), а разность — к нулю. И в общем случае, данную ситуацию можно записать следующим образом:
где n - номер итерации (количество девяток после запятой вычитаемого),
m - количество нулей между запятой и единицей разности.
Для нахождения разности 1-0,(9), положим значение номера итерации равным бесконечности: . Тогда .
Таким образом, искомая разность формально имеет бесконечность нолей после запятой, после которых идет единица
^[2].На самом деле, если после запятой находится бесконечное множество цифр (в данном случае нулей), то в следующий после него разряд невозможно вписать больше ни единой цифры, поскольку такого разряда не существует. В данном случае искомая разница после запятой будет иметь совокупность нулей, которая никогда не закончится (бесконечность нулей), а следовательно единицы после всех нолей не будет. Таким образом разность будет представлена в виде чистой периодической дроби с нулевой целой частью и периодом, состоящим из одного нуля: 0,(0), что является представлением числа 0 в виде периодической десятичной дроби:
Таким образом,
а значит